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物理竞赛中需要的数学技巧
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虽然在竞赛大纲中,数学基础以 “微积分初步应用” 带过1,但是实际解题中我们需要使用的数学技巧远比微积分要多。
在学习数学的过程中,我们需要注意以下几点:
- 应用导向,没有必要拘泥于证明过程,但是一定要会用。
- 竞赛大纲原则上是只到微积分。故全国赛(尤其复赛)所用数学技巧不会太复杂。然而,平时刷题过程中,泰勒展开、差分方程等技巧还是时常会用到的。一般来说,全国赛如果有超纲的知识,都会在卷首给出公式。
推荐一本宝藏书籍:《高等数学》,李忠,北京大学出版社。据说是作者专门为物理系学生所写。目前北大物院高数B就是这本书。
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复数 #
振动和交流电用到。
欧拉公式。
微积分 #
由于我们是闭卷考试,所以该记的微积分公式还是要记忆的。
物竞中主要用基本函数的微积分,以及洛必达、极限相关知识。
没有必要看同济高数。同济高数讲得太啰嗦,证明占了较大篇幅。也不用刷吉米多维奇或者谢惠民。再次强调我们会用就行。这两本书基本上是给数学系准备的。其难度已经超过大学物理系的要求了。
高斯积分 #
热力学,求麦克斯韦速度分布律时用得比较多。
泰勒展开 #
小量近似、约化的思想是物理中最重要的思想之一。其中泰勒展开则是近似手段的数学基础。
物竞中主要体现在各种周期运动,例如单摆、摄动法等题目中。
泰勒展开也算是高等数学的内容之一。首先展开公式一定是要背得的。可以顺便记一下几个基本函数的展开式。
对一阶小量、二阶小量等需要有一个基本的理解。
微分方程 #
物竞主要用在振动、交变电流的处理中。虽然直接背振动公式也可以,不过还是推荐学一下。不难,带入即可。
差分方程/数列 #
差分方程不算是常规的高数内容。其本质还是数列那一块。
物竞中主要用在处理“一维”电阻网络、“一维”质点网络等问题。
几何 #
几何主要分两部分
一部分是在处理某些二维问题时需要用到的一点平面几何结论,常常会作为题眼。所以初中学好数学还是很关键的。
另一部分是解析几何。尤其球坐标相关的知识。
矩阵 #
线性代数我们基本只需要学矩阵。主要就是在解简正模的时候用到一点。
*球谐函数 #
电动力学的基础。解决三维具有一定对称性的电学问题的通用解法。